Графическое решение сложных уравнений. Графический метод решения системы уравнений

На этом уроке мы будем рассматривать решение систем двух уравнений с двумя переменными. Вначале рассмотрим графическое решение системы двух линейных уравнений, специфику совокупности их графиков. Далее решим несколько систем графическим методом.

Тема: Системы уравнений

Урок: Графический метод решения системы уравнений

Рассмотрим систему

Пару чисел которая одновременно является решением и первого и второго уравнения системы, называют решением системы уравнений .

Решить систему уравнений - это значит найти все её решения, или установить, что решений нет. Мы рассмотрели графики основных уравнений, перейдем к рассмотрению систем.

Пример 1. Решить систему

Решение:

Это линейные уравнения, графиком каждого из них является прямая. График первого уравнения проходит через точки (0; 1) и (-1; 0). График второго уравнения проходит через точки (0; -1) и (-1; 0). Прямые пересекаются в точке (-1; 0), это и есть решение системы уравнений (Рис. 1).

Решением системы является пара чисел Подставив эту пару чисел в каждое уравнение, получим верное равенство.

Мы получили единственное решение линейной системы.

Вспомним, что при решении линейной системы возможны следующие случаи:

cистема имеет единственное решение - прямые пересекаются,

система не имеет решений - прямые параллельны,

система имеет бесчисленное множество решений - прямые совпадают.

Мы рассмотрели частный случай системы, когда p(x; y) и q(x; y) - линейные выражения от x и y.

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение:

График первого уравнения - прямая, график второго уравнения - окружность. Построим первый график по точкам (Рис. 2).

Центр окружности в точке О(0; 0), радиус равен 1.

Графики пересекаются в т. А(0; 1) и т. В(-1; 0).

Пример 3. Решить систему графически

Решение: Построим график первого уравнения - это окружность с центром в т.О(0; 0) и радиусом 2. График второго уравнения - парабола. Она сдвинута относительно начала координат на 2 вверх, т.е. ее вершина - точка (0; 2) (Рис. 3).

Графики имеют одну общую точку - т. А(0; 2). Она и является решением системы. Подставим пару чисел в уравнение, чтобы проверить правильность.

Пример 4. Решить систему

Решение: Построим график первого уравнения - это окружность с центром в т.О(0; 0) и радиусом 1 (Рис. 4).

Построим график функции Это ломаная (Рис. 5).

Теперь сдвинем ее на 1 вниз по оси oy. Это и будет график функции

Поместим оба графика в одну систему координат (Рис. 6).

Получаем три точки пересечения - т. А(1; 0), т. В(-1; 0), т. С(0; -1).

Мы рассмотрели графический метод решения систем. Если можно построить график каждого уравнения и найти координаты точек пересечения, то этого метода вполне достаточно.

Но часто графический метод даёт возможность найти только приближенное решение системы или ответить на вопрос о количестве решений. Поэтому нужны и другие методы, более точные, и ими мы займемся на следующих уроках.

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

1. Раздел College.ru по математике ().

2. Интернет-проект «Задачи» ().

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» ().

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 105, 107, 114, 115.

С квадратными уравнениями вы уже встречались в курсе алгебры 7-го класса. Напомним, что квадратным уравнением называют уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где а, b, с — любые числа (коэффициенты), причем а . Используя наши знания о некоторых функциях и их графиках, мы в состоянии уже теперь, не дожидаясь систематического изучения темы «Квадратные уравнения», решать некоторые квадратные уравнения, причем различными способами; мы рассмотрим эти способы на примере одного квадратного уравнения.

Пример. Решить уравнение х 2 - 2х - 3 = 0.
Решение.
I способ . Построим график функции у = х 2 - 2х - 3, воспользовавшись алгоритмом из § 13:

1) Имеем: а = 1, b = -2, х 0 = = 1, у 0 = f(1)= 1 2 - 2 - 3= -4. Значит, вершиной параболы служит точка (1; -4), а осью параболы — прямая х = 1.

2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки х = -1 и х = 3.

Имеем f(-1) = f(3) = 0. Построим на координатной плоскости точки (-1; 0) и (3; 0).

3) Через точки (-1; 0), (1; -4), (3; 0) проводим параболу (рис. 68).

Корнями уравнения х 2 - 2х - 3 = 0 являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х; значит, корни уравнения таковы: х 1 = - 1, х 2 — 3.

II способ. Преобразуем уравнение к виду х 2 = 2х + 3. Построим в одной системе координат графики функций у — х 2 и у = 2х + 3 (рис. 69). Они пересекаются в двух точках А(- 1; 1) и В(3; 9). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, значит, х 1 = - 1, х 2 — 3.

III способ . Преобразуем уравнение к виду х 2 - 3 = 2х. Построим в одной системе координат графики функций у = х 2 - 3 и у = 2х (рис. 70). Они пересекаются в двух точках А(-1; - 2) и В (3; 6). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, поэтому х 1 = - 1, х 2 = 3.

IV способ. Преобразуем уравнение к виду х 2 -2х 4-1-4 = 0
и далее
х 2 - 2х + 1 = 4, т. е. (х - IJ = 4.
Построим в одной системе координат параболу у = (х - 1) 2 и прямую y = 4 (рис. 71). Они пересекаются в двух точках А(-1; 4) и В(3; 4). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, поэтому х 1 = -1, х 2 = 3.

V способ. Разделив почленно обе части уравнения на х, получим

Построим в одной системе координат гиперболу и прямую у = х - 2 (рис. 72).

Они пересекаются в двух точках А (-1; -3) и В(3; 1). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, следовательно, х 1 = - 1, х 2 = 3.

Итак, квадратное уравнение х 2 - 2х - 3 = 0 мы решили графически пятью способами. Давайте проанализируем, в чем суть этих способов.

I способ. Строят график функции у точки его пересечения с осью х.

II способ. Преобразуют уравнение к виду ах 2 = -bх - с, строят параболу у = ах 2 и прямую у = -bх - с, находят точки их пересечения (корнями уравнения служат абсциссы точек пересечения, если, разумеется, таковые имеются).

III способ. Преобразуют уравнение к виду ах 2 + с = - bх,строят параболу у — ах 2 + с и прямую у = -bх (она проходит через начало координат); находят точки их пересечения.

IV способ. Применяя метод выделения полного квадрата, преобразуют уравнение к виду

Строят параболу у = а (х + I) 2 и прямую у = - m, параллельную оси х; находят точки пересечения параболы и прямой.

V способ. Преобразуют уравнение к виду

Строят гиперболу (это — гипербола при условии, что ) и прямую у = — ах — b; находят точки их пересечения.

Заметим, что первые четыре способа применимы к любым уравнениям вида ах 2 + bх + с = 0, а пятый — только к тем, у которых с . На практике можно выбирать тот способ, который вам кажется наиболее приспособленным к данному уравнению или который вам больше нравится (или более понятен).

Замечание . Несмотря на обилие способов графического решения квадратных уравнений, уверенности в том, что любое квадратное уравнение мы
сможем решить графически, нет. Пусть, например, нужно решить уравнение х 2 - х - 3 = 0 (специально возьмем уравнение, похожее на то, что было в
рассмотренном примере). Попробуем его решить, например, вторым способом: преобразуем уравнение к виду х 2 = х + 3, построим параболу у = х 2 и
прямую у = х + 3, они пересекаются в точках А и В (рис. 73), значит, уравнение имеет два корня. Но чему равны эти корни, мы с помощью чертежа
сказать не можем — точки А и В имеют не такие «хорошие» координаты, как в приведенном выше примере. А теперь рассмотрим уравнение
х 2 - 16х— 95 = 0. Попробуем его решить, скажем, третьим способом. Преобразуем уравнение к виду х 2 — 95 = 16х. Здесь надо построить параболу
у = х 2 - 95 и прямую у = 16х. Но ограниченные размеры листа тетради не позволяют этого сделать, ведь параболу у = х 2 надо опустить на 95 клеток вниз.

Итак, графические способы решения квадратного уравнения красивы и приятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого квадратного уравнения. Учтем это в далнейшем.

На этом видеоуроке к изучению предлагается тема «Функция y=x 2 . Графическое решение уравнений». В ходе этого занятия учащиеся смогут познакомиться с новым способом решения уравнений - графическим, который основан на знании свойств графиков функций. Учитель покажет, как можно решить графическим способом функцию y=x 2 .

Тема: Функция

Урок: Функция . Графическое решение уравнений

Графическое решение уравнений основано на знании графиков функций и их свойств. Перечислим функции, графики которых мы знаем:

1) , графиком является прямая линия, параллельная оси абсцисс, проходящая через точку на оси ординат. Рассмотрим пример: у=1:

При различных значениях мы получаем семейство прямых параллельных оси абсцисс.

2) Функция прямой пропорциональности график данной функции - это прямая, проходящая через начало координат. Рассмотрим пример:

Данные графики мы уже строили в предыдущих уроках, напомним, что для построения каждой прямой нужно выбрать точку, удовлетворяющую ей, а второй точкой взять начало координат.

Напомним роль коэффициента k: при функция возрастает, угол между прямой и положительным направлением оси х острый; при функция убывает, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой. Кроме того, между двумя параметрами k одного знака существует следующее соотношение: при положительных k чем он больше, тем быстрее функция возрастает, а при отрицательных - функция быстрее убывает при больших значениях k по модулю.

3) Линейная функция . При - получаем точку пересечения с осью ординат и все прямые такого вида проходят через точку (0; m). Кроме того, при функция возрастает, угол между прямой и положительным направлением оси х острый; при функция убывает, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой. И конечно величина k влияет на скорость изменения значения функции.

4). Графиком данной функции является парабола.

Рассмотрим примеры.

Пример 1 - графически решить уравнение:

Функции подобного вида мы не знаем, поэтому нужно преобразить заданное уравнение, чтобы работать с известными функциями:

Мы получили в обоих частях уравнения знакомые функции:

Построим графики функций:

Графики имеют две точки пересечения: (-1; 1); (2; 4)

Проверим, правильно ли найдено решение, подставим координаты в уравнение:

Первая точка найдена правильно.

, , , , , ,

Вторая точка также найдена верно.

Итак, решениями уравнения являются и

Поступаем аналогично предыдущему примеру: преобразуем заданное уравнение до известных нам функций, построим их графики, найдем токи пересечения и отсюда укажем решения.

Получаем две функции:

Построим графики:

Данные графики не имеют точек пересечения, значит заданное уравнение не имеет решений

Вывод: в данном уроке мы провели обзор известных нам функций и их графиков, вспомнили их свойства и рассмотрели графический способ решения уравнений.

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

Задание 1: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, № 494, ст.110;

Задание 2: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, № 495, ст.110;

Задание 3: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра 7, № 496, ст.110;

>>Математика: Графическое решение уравнений

Графическое решение уравнений

Подытожим наши знания о графиках функций. Мы с вами научились строить графики следующих функций:

у =b (прямую, параллельную оси х);

y = kx (прямую, проходящую через начало координат);

y - kx + m (прямую);

у = х 2 (параболу).

Знание этих графиков позволит нам в случае необходимости заменить аналитическую модель геометрической (графической), например, вместо модели у = х 2 (которая представляет собой равенство с двумя переменными х и у) рассматривать параболу в координатной плоскости. В частности, это иногда полезно для решения уравнений. Как это делается, обсудим на нескольких примерах.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Здравствуйте. В данной статье я попытаюсь показать вам возможные способы решения квадратных уравнений с помощью графиков .

Допустим, надо решить уравнение х 2 ‒ 2х ‒ 3 = 0. На этом примере мы рассмотрим варианты решения квадратного уравнения графически.

1) Можно представить наше уравнение в виде х 2 = 2х + 3. Далее построим в одной системе координат графики функций у = х 2 и у = 2х + 3. График у = х 2 представлен на рисунке 1, а оба графика на рисунке 2.

Рисунок 1 Рисунок 2

Графики пересекаются в двух точках, наше уравнение имеет решение х = – 1 и х = 3.

2) А ведь можно представить уравнение и по - другому, например х 2 ‒ 2х = 3 и построить в одной системе координат графики функций у = х 2 ‒ 2х и у =3. Вы их можете увидеть на рисунках 3 и 4. На рисунке 3 изображен график у = х 2 ‒ 2х, а на рисунке 4 оба графика у = х 2 ‒ 2х и у =3.

Рисунок 3 Рисунок 4

Как мы видим, эти два графика так же пересекаются в двух точках, где х = -1 и х = 3. Значит ответ: - 1; 3.

3) Есть и другой вариант представления этого уравнения х 2 ‒ 3 = 2х. И снова строим графики функций у = х 2 ‒ 3 и у = 2х в одной системе координат. Первый у = х 2 ‒ 3 на рисунке 5 и оба графика на рисунке 6.

Рисунок 5 Рисунок 6

Ответ: - 1; 3.

4) Можно построить параболу у = х 2 ‒ 2х ‒ 3.

Вершина параболы х 0 = - b/2а = 2/2=1, у 0 = 1 2 ‒ 2·1 ‒ 3 = 1 – 2 – 3 = ‒ 4. Это точка (1; ‒ 4). Тогда наша парабола симметрична относительно прямой х =1. Если взять две точки симметричные относительно прямой х = 1 например: х = - 2 и х = 4, то мы получим две точки через которые проходят ветви графика.

Если х = -2, то у =(- 2) 2 ‒ 2(-2) ‒ 3 = 4 + 4 – 3 = 5.

Аналогично х =4, у = 4 2 ‒ 2 · 4 ‒ 3= 16 – 8 – 3 = 5. Полученные точки (-2; 5); (1; 4) и (4; 5) отмечаем в на плоскости и проводим параболу рисунок 7.

Рисунок 7

Парабола пересекает ось абсцисс в точках – 1 и 3. Это и есть корни уравнения х 2 ‒ 2х ‒ 3 = 0.

Ответ: – 1 и 3.

5) А можно выделить квадрат двучлена:

х 2 ‒ 2х ‒ 3= 0

(х 2 ‒ 2х + 1) ‒1 ‒ 3= 0

(х -1) 2 - 4 = 0

Затем построить в одной системе координат графики функций у = (х - 1) 2 и у = 4. Первый график у = (х - 1) 2 на рисунке 8, а оба графика у = (х - 1) 2 и у = 4 на рисунке 9.

Рисунок 8 Рисунок 9

Они также пересекаются в двух точках, в которых х = -1 , х = 3.

Ответ: - 1; 3.

6) Так как х = 0 не является корнем уравнения х 2 ‒ 2х ‒ 3 = 0 (иначе выполнялось бы равенство 0 2 – 2· 0 –3 = 0), то можно все члены уравнения разделить на х. В результате мы получим уравнение х – 2 – 3/х = 0. Перенесем 3/х вправо и получаем уравнение х – 2 = 3/х Тогда можно построить в одной системе координат графики функций у = 3/х и у = х – 2.

На рисунке 10 изображен график функции у = 3/х, а на рисунке 11 оба графика функций у = 3/х и у = х – 2.

Рисунок 10 Рисунок 11

Они также пересекаются в двух точках, в которых х = -1 , х = 3.

Ответ: - 1; 3.

Если вы были внимательны, то обратили внимание, что каким бы образом вы не представили бы уравнение в виде двух функций, у вас всегда будет один и тот же ответ (разуметься, что вы не допустите ошибок при переносе выражений из одной части уравнения в другую и при построении графиков). Поэтому, решая графически уравнение, выбирайте способ представления функций графики которых вам легче построить. И еще одно замечание если корни уравнения не целые числа, то ответ получится не точным.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.